e5f3966afd843d3afae56d81f23fe10daa71b304
[darcs-mirror-isa-launchbury.git] / Launchbury / FTreeCardinality.thy
1 theory FTreeCardinality
2 imports FTreeAnalysis CardinalityAnalysis CallFutureCardinality
3 begin
4
5 context FutureAnalysis
6 begin
7
8 fun unstack :: "stack \<Rightarrow> exp \<Rightarrow> exp" where
9   "unstack [] e = e"
10 | "unstack (Upd x # S) e = unstack S e"
11 | "unstack (Arg x # S) e = unstack S (App e x)"
12 | "unstack (Dummy x # S) e = unstack S e"
13
14 fun Fstack :: "stack \<Rightarrow> var ftree"
15   where "Fstack [] = \<bottom>"
16   | "Fstack (Upd x # S) = Fstack S"
17   | "Fstack (Arg x # S) = many_calls x \<otimes>\<otimes> Fstack S"
18   | "Fstack (Dummy x # S) = Fstack S"
19
20 lemma carrier_Fstack[simp]: "carrier (Fstack S) = ap S"
21   by (induction S rule: Fstack.induct) (auto simp add: empty_is_bottom[symmetric])
22
23 fun prognosis :: "AEnv \<Rightarrow> Arity \<Rightarrow> conf \<Rightarrow> var \<Rightarrow> two"
24    where "prognosis ae a (\<Gamma>, e, S) = pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S)))"
25 end
26
27
28 lemma pathsCard_paths_nxt:  "pathsCard (paths (nxt f x)) \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths f))"
29   apply transfer
30   apply (rule pathsCard_below)
31   apply auto
32   apply (erule below_trans[OF _ monofun_cfun_arg[OF paths_Card_above], rotated]) back
33   apply (auto intro: fun_belowI simp add: record_call_simp two_pred_two_add_once)
34   done
35
36 lemma pathsCards_none: "pathsCard (paths t) x = none \<Longrightarrow> x \<notin> carrier t"
37   by transfer (auto dest: pathCards_noneD)
38
39 lemma const_on_edom_disj: "const_on f S empty \<longleftrightarrow> edom f \<inter> S = {}"
40   by (auto simp add: empty_is_bottom edom_def)
41
42 context FutureAnalysisCarrier
43 begin
44   lemma carrier_FBinds: "carrier ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x) \<subseteq> fv \<Gamma>"
45   apply (simp add: Fexp.AnalBinds_lookup)
46   apply (auto split: option.split simp add: empty_is_bottom[symmetric] )
47   apply (case_tac "ae x")
48   apply (auto simp add: empty_is_bottom[symmetric] carrier_Fexp dest!: set_mp[OF Aexp_edom])
49   by (metis (poly_guards_query) contra_subsetD domA_from_set map_of_fv_subset map_of_is_SomeD option.sel)
50 end
51
52
53
54
55 context FutureAnalysisCorrect
56 begin
57
58   sublocale CardinalityPrognosisCorrect prognosis
59   proof
60     fix \<Gamma> :: heap and ae ae' :: AEnv and u e S
61     assume "ae f|` domA \<Gamma> = ae' f|` domA \<Gamma>"
62     from Fexp.AnalBinds_cong[OF this]
63     show "prognosis ae u (\<Gamma>, e, S) = prognosis ae' u (\<Gamma>, e, S)" by simp
64   next
65     fix ae a \<Gamma> e S
66     show "const_on (prognosis ae a (\<Gamma>, e, S)) (ap S) many"
67     proof
68       fix x
69       assume "x \<in> ap S"
70       hence "[x,x] \<in> paths (Fstack S)"
71         by (induction S rule: Fstack.induct)
72            (auto 4 4 intro: set_mp[OF both_contains_arg1] set_mp[OF both_contains_arg2] paths_Cons_nxt)
73       hence "[x,x] \<in> paths (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S)"
74         by (rule set_mp[OF both_contains_arg2])
75       hence "[x,x] \<in> paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S))" 
76         by (rule set_mp[OF substitute_contains_arg])
77       hence "pathCard [x,x] x \<sqsubseteq> pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S))) x"
78         by (metis fun_belowD paths_Card_above)
79       also have "pathCard [x,x] x = many"  by (auto simp add: pathCard_def)
80       finally
81       show "prognosis ae a (\<Gamma>, e, S) x = many"
82         by (auto intro: below_antisym)
83     qed
84   next
85     fix ae a \<Gamma> e x S
86     have "Fexp e\<cdot>(inc\<cdot>a)  \<otimes>\<otimes> many_calls x \<otimes>\<otimes> Fstack S = many_calls x  \<otimes>\<otimes> (Fexp e)\<cdot>(inc\<cdot>a) \<otimes>\<otimes> Fstack S"
87       by (metis both_assoc both_comm)
88     thus "prognosis ae (inc\<cdot>a) (\<Gamma>, e, Arg x # S) \<sqsubseteq> prognosis ae a (\<Gamma>, App e x, S)"
89       by simp (intro pathsCard_mono' paths_mono substitute_mono2' both_mono1' Fexp_App)
90   next
91     fix ae a \<Gamma> e y x S
92     have "Fexp e[y::=x]\<cdot>(pred\<cdot>a) \<sqsubseteq> many_calls x  \<otimes>\<otimes> Fexp (Lam [y]. e)\<cdot>a"
93       by (rule below_trans[OF Fexp_subst both_mono2'[OF Fexp_Lam]])
94     moreover have "Fexp (Lam [y]. e)\<cdot>a \<otimes>\<otimes> many_calls x \<otimes>\<otimes> Fstack S = many_calls x  \<otimes>\<otimes> Fexp (Lam [y]. e)\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S"
95       by (metis both_assoc both_comm)
96     ultimately  
97     show "prognosis ae (pred\<cdot>a) (\<Gamma>, e[y::=x], S) \<sqsubseteq> prognosis ae a (\<Gamma>, Lam [y]. e, Arg x # S)"
98       by simp (intro pathsCard_mono' paths_mono substitute_mono2' both_mono1')
99   next
100     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and x :: var and ae :: AEnv and u a S
101     assume "map_of \<Gamma> x = Some e"
102     assume "ae x = up\<cdot>u"
103
104     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u \<otimes>\<otimes> Fstack S))) = pathsCard (paths (nxt (and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S))) x))"
105       by simp
106     also
107     have "\<dots> \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S)))))"
108       by (rule pathsCard_paths_nxt)
109     also
110     have "\<dots> = record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> Fexp e\<cdot>u)))))"
111       by (metis both_comm)
112     also
113     have "\<dots> = record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)))))"
114       using `map_of \<Gamma> x = Some e` `ae x = up\<cdot>u` by (simp add: Fexp.AnalBinds_lookup)
115     also
116     assume "isLam e"
117     hence "x \<notin> thunks \<Gamma>" using `map_of \<Gamma> x = Some e` by (metis thunksE)
118     hence "FBinds \<Gamma>\<cdot>ae = f_nxt (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) x" by (auto simp add: f_nxt_def)
119     hence "and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)) = substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (and_then x (Fstack S))"
120       by (simp add: substitute_and_then)
121     also
122     have "and_then x (Fstack S) \<sqsubseteq> FTree.single x \<otimes>\<otimes> Fstack S" by (rule and_then_both_single')
123     note pathsCard_mono'[OF paths_mono[OF substitute_mono2'[OF this]]]
124     also
125     have "FTree.single x \<sqsubseteq> Fexp (Var x)\<cdot>a" by (rule Fexp_Var)
126     note pathsCard_mono'[OF paths_mono[OF substitute_mono2'[OF both_mono1'[OF this]]]]
127     finally
128     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S))) \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp (Var x)\<cdot>a  \<otimes>\<otimes> Fstack S))))" 
129       by this simp_all
130     thus "prognosis ae u (\<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(prognosis ae a (\<Gamma>, Var x, S))" by simp
131   next
132     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and x :: var and ae :: AEnv and u a S
133     assume "map_of \<Gamma> x = Some e"
134     assume "ae x = up\<cdot>u"
135     assume "\<not> isLam e"
136     hence "x \<in> thunks \<Gamma>" using `map_of \<Gamma> x = Some e` by (metis thunksI)
137     hence [simp]: "f_nxt (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) x = FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae" 
138       by (auto simp add: f_nxt_def Fexp.AnalBinds_delete_to_fun_upd empty_is_bottom)
139
140     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks (delete x \<Gamma>)) (Fexp e\<cdot>u \<otimes>\<otimes> Fstack S)))
141        =  pathsCard (paths (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u \<otimes>\<otimes> Fstack S)))"
142        by (rule arg_cong[OF substitute_cong_T]) (auto simp add: empty_is_bottom)
143     also have "\<dots>  = pathsCard (paths (nxt (and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S))) x))"
144       by simp
145     also
146     have "\<dots> \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S)))))"
147       by (rule pathsCard_paths_nxt)
148     also
149     have "\<dots> = record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> Fexp e\<cdot>u)))))"
150       by (metis both_comm)
151     also
152     have "\<dots> = record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)))))"
153       using `map_of \<Gamma> x = Some e` `ae x = up\<cdot>u` by (simp add: Fexp.AnalBinds_lookup)
154     also
155     have "and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)) = substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (and_then x (Fstack S))"
156       by (simp add: substitute_and_then)
157     also
158     have "and_then x (Fstack S) \<sqsubseteq> FTree.single x \<otimes>\<otimes> Fstack S" by (rule and_then_both_single')
159     note pathsCard_mono'[OF paths_mono[OF substitute_mono2'[OF this]]]
160     also
161     have "FTree.single x \<sqsubseteq> Fexp (Var x)\<cdot>a" by (rule Fexp_Var)
162     note pathsCard_mono'[OF paths_mono[OF substitute_mono2'[OF both_mono1'[OF this]]]]
163     finally
164     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks (delete x \<Gamma>)) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S)))
165        \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp (Var x)\<cdot>a  \<otimes>\<otimes> Fstack S))))" 
166       by this simp_all
167     thus "prognosis ae u (delete x \<Gamma>, e, Upd x # S) \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(prognosis ae a (\<Gamma>, Var x, S))" by simp
168   next
169     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and  x :: var and  S
170     assume "isLam e"
171     hence "repeatable (Fexp e\<cdot>0)" by (rule Fun_repeatable)
172
173     assume [simp]: "x \<notin> domA \<Gamma>"
174
175     have [simp]: "thunks ((x, e) # \<Gamma>) = thunks \<Gamma>" 
176       using `isLam e`
177       by (auto simp add: thunks_Cons dest: set_mp[OF thunks_domA])
178
179     have "fup\<cdot>(Fexp e)\<cdot>(ae x) \<sqsubseteq> Fexp e\<cdot>0" by (metis fup2 monofun_cfun_arg up_zero_top)
180     hence "substitute ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae)(x := fup\<cdot>(Fexp e)\<cdot>(ae x))) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>0 \<otimes>\<otimes> Fstack S) \<sqsubseteq> substitute ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae)(x := Fexp e\<cdot>0)) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>0 \<otimes>\<otimes> Fstack S)"
181       by (intro substitute_mono1' fun_upd_mono below_refl)
182     also have "\<dots> = substitute (((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae)(x := Fexp e\<cdot>0))(x := empty)) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>0 \<otimes>\<otimes> Fstack S)"
183       using `repeatable (Fexp e\<cdot>0)` by (rule substitute_remove_anyways, simp)
184     also have "((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae)(x := Fexp e\<cdot>0))(x := empty) = FBinds \<Gamma>\<cdot>ae"
185       by (simp add: fun_upd_idem Fexp.AnalBinds_not_there empty_is_bottom)
186     finally
187     show "prognosis ae 0 ((x, e) # \<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> prognosis ae 0 (\<Gamma>, e, Upd x # S)"
188       by (simp, intro pathsCard_mono' paths_mono)
189   next
190     fix \<Gamma> \<Delta> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and u S
191     assume "map_of \<Gamma> = map_of \<Delta>"
192     hence "FBinds \<Gamma> = FBinds \<Delta>" and "thunks \<Gamma> = thunks \<Delta>" by (auto intro!: cfun_eqI  thunks_cong simp add: Fexp.AnalBinds_lookup)
193     thus "prognosis ae u (\<Gamma>, e, S) = prognosis ae u (\<Delta>, e, S)"  by simp
194   next
195     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and u S x
196
197     show "prognosis ae u (delete x \<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> prognosis ae u (\<Gamma>, e, S)"
198       by (simp add: substitute_T_delete empty_is_bottom)
199          (intro pathsCard_mono' paths_mono substitute_mono1' Fexp.AnalBinds_delete_below)
200   next
201     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and u S x
202     show "prognosis ae u (\<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> prognosis ae u (\<Gamma>, e, Upd x # S)" by simp
203   next
204   fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and a S x
205   assume "ae x = \<bottom>"
206
207   hence "FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae = FBinds \<Gamma>\<cdot>ae" by (rule Fexp.AnalBinds_delete_bot)
208   moreover
209   hence "((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x) = \<bottom>" by (metis Fexp.AnalBinds_delete_lookup)
210   ultimately
211   show "prognosis ae a (\<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> prognosis ae a (delete x \<Gamma>, e, S)"
212     by (simp add: substitute_T_delete empty_is_bottom)
213   next
214     fix ae a \<Gamma> x S
215     have "once \<sqsubseteq> (pathCard [x]) x" by (simp add: two_add_simp)
216     also have "pathCard [x] \<sqsubseteq> pathsCard ({[],[x]})"
217       by (rule paths_Card_above) simp
218     also have "\<dots> = pathsCard (paths (single x))" by simp
219     also have "single x \<sqsubseteq> (Fexp (Var x)\<cdot>a)" by (rule Fexp_Var)
220     also have "\<dots> \<sqsubseteq> Fexp (Var x)\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S" by (rule both_above_arg1)
221     also have "\<dots> \<sqsubseteq> substitute  (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp (Var x)\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S)" by (rule substitute_above_arg)
222     also have "pathsCard (paths \<dots>) x =  prognosis ae a (\<Gamma>, Var x, S) x" by simp
223     finally
224     show "once \<sqsubseteq> prognosis ae a (\<Gamma>, Var x, S) x"
225       by this (rule cont2cont_fun, intro cont2cont)+
226   qed
227 end
228
229 context FutureAnalysisCardinalityHeap
230 begin
231
232   definition cHeap where
233     "cHeap \<Gamma> e = (\<Lambda> a. pathsCard (paths (Fheap \<Gamma> e\<cdot>a)))"
234
235   lemma cHeap_simp: "(cHeap \<Gamma> e)\<cdot>a = pathsCard (paths (Fheap \<Gamma> e\<cdot>a))"
236     unfolding cHeap_def  by (rule beta_cfun) (intro cont2cont)
237   
238   (*
239   lemma cHeap_eqvt: "\<pi> \<bullet> (cHeap \<Gamma> e) = cHeap (\<pi> \<bullet> \<Gamma>) (\<pi> \<bullet> e)"
240     unfolding cHeap_def
241     apply perm_simp
242     apply (simp add: Fheap_eqvt)
243     apply (rule Abs_cfun_eqvt)
244     apply (intro cont2cont)
245     done
246   *)
247
248   sublocale CardinalityHeap Aexp Aheap cHeap
249   proof
250   (*
251     note cHeap_eqvt[eqvt]
252     fix \<pi> show "\<pi> \<bullet> cHeap = cHeap" by perm_simp rule
253   next
254   *)
255     fix x \<Gamma> e a
256     assume "x \<in> thunks \<Gamma>"
257     moreover
258     assume "many \<sqsubseteq> (cHeap \<Gamma> e\<cdot>a) x"
259     hence "many \<sqsubseteq> pathsCard (paths (Fheap \<Gamma> e \<cdot>a)) x" unfolding cHeap_def by simp
260     hence "\<exists>p\<in> (paths (Fheap \<Gamma> e\<cdot>a)). \<not> (one_call_in_path x p)" unfolding pathsCard_def
261       by (auto split: if_splits)
262     ultimately
263     show "(Aheap \<Gamma> e\<cdot>a) x = up\<cdot>0"
264       by (metis Fheap_thunk)
265   next
266     fix \<Gamma> e a
267     show "edom (cHeap \<Gamma> e\<cdot>a) = edom (Aheap \<Gamma> e\<cdot>a)"
268     by (simp add: cHeap_def Union_paths_carrier carrier_Fheap)
269   qed
270
271   sublocale CardinalityPrognosisEdom prognosis Aexp Aheap
272   proof
273     fix ae a \<Gamma> e S
274     show "edom (prognosis ae a (\<Gamma>, e, S)) \<subseteq> fv \<Gamma> \<union> fv e \<union> fv S"
275       apply (simp add: Union_paths_carrier)
276       apply (rule carrier_substitute_below)
277       apply (auto simp add: carrier_Fexp dest: set_mp[OF Aexp_edom] set_mp[OF ap_fv_subset] set_mp[OF carrier_FBinds])
278       done
279   qed
280   
281   sublocale CardinalityPrognosisCorrectLet prognosis Aexp Aheap cHeap
282   proof
283     fix \<Delta> \<Gamma> :: heap and e :: exp and S :: stack and  ae :: AEnv and a :: Arity
284     assume "atom ` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>"
285     assume "atom ` domA \<Delta> \<sharp>* S"
286     assume "edom ae \<subseteq> domA \<Gamma> \<union> upds S"
287
288     have "domA \<Delta> \<inter> edom ae = {}"
289       using fresh_distinct[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`] fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* S`] 
290             `edom ae \<subseteq> domA \<Gamma> \<union> upds S` ups_fv_subset[of S]
291       by auto
292
293     have const_on1:  "\<And> x. const_on (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (carrier ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)) empty"
294       unfolding const_on_edom_disj using fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`]
295       by (auto dest!: set_mp[OF carrier_FBinds] set_mp[OF Fexp.edom_AnalBinds])
296     have const_on2:  "const_on (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (carrier (Fstack S)) empty"
297       unfolding const_on_edom_disj using fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* S`]
298       by (auto dest!: set_mp[OF carrier_FBinds] set_mp[OF Fexp.edom_AnalBinds] set_mp[OF ap_fv_subset ])
299     have  const_on3: "const_on (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (- (- domA \<Delta>)) FTree.empty"
300       and const_on4: "const_on (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (domA \<Gamma>) FTree.empty"
301       unfolding const_on_edom_disj using fresh_distinct[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`]
302       by (auto dest!:  set_mp[OF Fexp.edom_AnalBinds])
303
304     have disj1: "\<And> x. carrier ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x) \<inter> domA \<Delta> = {}"
305       using fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`]
306       by (auto dest: set_mp[OF carrier_FBinds])
307     hence disj1': "\<And> x. carrier ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x) \<subseteq> - domA \<Delta>" by auto
308     have disj2: "\<And> x. carrier (Fstack S) \<inter> domA \<Delta> = {}"
309       using fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* S`] ap_fv_subset[of S] by auto
310     hence disj2': "carrier (Fstack S) \<subseteq> - domA \<Delta>" by auto
311     
312
313     {
314     fix x
315     have "(FBinds (\<Delta> @ \<Gamma>)\<cdot>(ae \<squnion> Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) x = (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) x"
316     proof (cases "x \<in> domA \<Delta>")
317       case True
318       have "map_of \<Gamma> x = None" using True fresh_distinct[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`] by (metis disjoint_iff_not_equal domA_def map_of_eq_None_iff)
319       moreover
320       have "ae x = \<bottom>" using True `domA \<Delta> \<inter> edom ae = {}` by auto
321       ultimately
322       show ?thesis using True 
323           by (auto simp add: Fexp.AnalBinds_lookup empty_is_bottom[symmetric] cong: option.case_cong)
324     next
325       case False
326       have "map_of \<Delta> x = None" using False by (metis domA_def map_of_eq_None_iff)
327       moreover
328       have "(Aheap \<Delta> e\<cdot>a) x = \<bottom>" using False using edom_Aheap by (metis contra_subsetD edomIff)
329       ultimately
330       show ?thesis using False
331          by (auto simp add: Fexp.AnalBinds_lookup empty_is_bottom[symmetric] cong: option.case_cong)
332     qed
333     }
334     note FBinds = ext[OF this]
335
336     {
337     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds (\<Delta> @ \<Gamma>)\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a \<squnion> ae)) (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>)) (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S)))
338       = pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>)) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a))  (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>))  (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S))))"
339        by (simp add: substitute_substitute[OF const_on1] FBinds)
340     also have "substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>)) = substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>)"
341       apply (rule substitute_cong_T)
342       using const_on3
343       by (auto dest: set_mp[OF thunks_domA])
344     also have "substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>)) = substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>)"
345       apply (rule substitute_cong_T)
346       using const_on4
347       by (auto dest: set_mp[OF thunks_domA])
348     also have "substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S) = substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a) \<otimes>\<otimes> Fstack S" 
349       by (rule substitute_only_empty_both[OF const_on2])
350     also note calculation
351     }
352     note eq_imp_below[OF this]
353     also
354     note env_restr_split[where S = "domA \<Delta>"]
355     also
356     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a) \<otimes>\<otimes> Fstack S))) f|` domA \<Delta> 
357         = pathsCard (paths (ftree_restr (domA \<Delta>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a))))"
358           by (simp add: filter_paths_conv_free_restr ftree_restr_both ftree_rest_substitute[OF disj1]  ftree_restr_is_empty[OF disj2])
359     also
360     have "ftree_restr (domA \<Delta>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a)) \<sqsubseteq> Fheap \<Delta> e\<cdot>a"  by (rule Fheap_substitute)
361     also
362     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a) \<otimes>\<otimes> Fstack S))) f|` (- domA \<Delta>) =
363           pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (ftree_restr (- domA \<Delta>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a)) \<otimes>\<otimes> Fstack S)))"
364           by (simp add: filter_paths_conv_free_restr2 ftree_rest_substitute2[OF disj1' const_on3] ftree_restr_both  ftree_restr_noop[OF disj2'])
365     also have "ftree_restr (- domA \<Delta>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a))  (thunks \<Delta>)  (Fexp e\<cdot>a)) \<sqsubseteq> Fexp (Terms.Let \<Delta> e)\<cdot>a" by (rule Fexp_Let)
366     finally
367     show "prognosis (Aheap \<Delta> e\<cdot>a \<squnion> ae) a (\<Delta> @ \<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> cHeap \<Delta> e\<cdot>a \<squnion> prognosis ae a (\<Gamma>, Terms.Let \<Delta> e, S)"
368       by (simp add: cHeap_def del: fun_meet_simp) 
369   qed
370 end
371
372 end