86a366bb505e8666d62a1f098e6749a0a8542a88
[darcs-mirror-isa-launchbury.git] / Launchbury / FTreeImplCardinalityCorrect.thy
1 theory FTreeImplCardinalityCorrect
2 imports FTreeImplCardinality FTreeAnalysisSpec CardinalityAnalysisSpec CallFutureCardinality
3 begin
4
5 hide_const Multiset.single
6
7 lemma pathsCard_paths_nxt:  "pathsCard (paths (nxt f x)) \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths f))"
8   apply transfer
9   apply (rule pathsCard_below)
10   apply auto
11   apply (erule below_trans[OF _ monofun_cfun_arg[OF paths_Card_above], rotated]) back
12   apply (auto intro: fun_belowI simp add: record_call_simp two_pred_two_add_once)
13   done
14
15 lemma pathsCards_none: "pathsCard (paths t) x = none \<Longrightarrow> x \<notin> carrier t"
16   by transfer (auto dest: pathCards_noneD)
17
18 lemma const_on_edom_disj: "const_on f S empty \<longleftrightarrow> edom f \<inter> S = {}"
19   by (auto simp add: empty_is_bottom edom_def)
20
21 context FTreeAnalysisCarrier
22 begin
23   lemma carrier_FBinds: "carrier ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x) \<subseteq> fv \<Gamma>"
24   apply (simp add: Fexp.AnalBinds_lookup)
25   apply (auto split: option.split simp add: empty_is_bottom[symmetric] )
26   apply (case_tac "ae x")
27   apply (auto simp add: empty_is_bottom[symmetric] carrier_Fexp dest!: set_mp[OF Aexp_edom])
28   by (metis (poly_guards_query) contra_subsetD domA_from_set map_of_fv_subset map_of_is_SomeD option.sel)
29 end
30
31 context FTreeAnalysisCorrect
32 begin
33
34   sublocale CardinalityPrognosisShape prognosis
35   proof
36     fix \<Gamma> :: heap and ae ae' :: AEnv and u e S
37     assume "ae f|` domA \<Gamma> = ae' f|` domA \<Gamma>"
38     from Fexp.AnalBinds_cong[OF this]
39     show "prognosis ae u (\<Gamma>, e, S) = prognosis ae' u (\<Gamma>, e, S)" by simp
40   next
41     fix ae a \<Gamma> e S
42     show "const_on (prognosis ae a (\<Gamma>, e, S)) (ap S) many"
43     proof
44       fix x
45       assume "x \<in> ap S"
46       hence "[x,x] \<in> paths (Fstack S)"
47         by (induction S rule: Fstack.induct)
48            (auto 4 4 intro: set_mp[OF both_contains_arg1] set_mp[OF both_contains_arg2] paths_Cons_nxt)
49       hence "[x,x] \<in> paths (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S)"
50         by (rule set_mp[OF both_contains_arg2])
51       hence "[x,x] \<in> paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S))" 
52         by (rule set_mp[OF substitute_contains_arg])
53       hence "pathCard [x,x] x \<sqsubseteq> pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S))) x"
54         by (metis fun_belowD paths_Card_above)
55       also have "pathCard [x,x] x = many"  by (auto simp add: pathCard_def)
56       finally
57       show "prognosis ae a (\<Gamma>, e, S) x = many"
58         by (auto intro: below_antisym)
59     qed
60   next
61     fix \<Gamma> \<Delta> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and u S
62     assume "map_of \<Gamma> = map_of \<Delta>"
63     hence "FBinds \<Gamma> = FBinds \<Delta>" and "thunks \<Gamma> = thunks \<Delta>" by (auto intro!: cfun_eqI  thunks_cong simp add: Fexp.AnalBinds_lookup)
64     thus "prognosis ae u (\<Gamma>, e, S) = prognosis ae u (\<Delta>, e, S)"  by simp
65   next
66     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and u S x
67
68     show "prognosis ae u (delete x \<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> prognosis ae u (\<Gamma>, e, S)"
69       by (simp add: substitute_T_delete empty_is_bottom)
70          (intro pathsCard_mono' paths_mono substitute_mono1' Fexp.AnalBinds_delete_below)
71   next
72     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and u S x
73     show "prognosis ae u (\<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> prognosis ae u (\<Gamma>, e, Upd x # S)" by simp
74   next
75   fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and a S x
76   assume "ae x = \<bottom>"
77
78   hence "FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae = FBinds \<Gamma>\<cdot>ae" by (rule Fexp.AnalBinds_delete_bot)
79   moreover
80   hence "((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x) = \<bottom>" by (metis Fexp.AnalBinds_delete_lookup)
81   ultimately
82   show "prognosis ae a (\<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> prognosis ae a (delete x \<Gamma>, e, S)"
83     by (simp add: substitute_T_delete empty_is_bottom)
84   next
85     fix ae a \<Gamma> x S
86     have "once \<sqsubseteq> (pathCard [x]) x" by (simp add: two_add_simp)
87     also have "pathCard [x] \<sqsubseteq> pathsCard ({[],[x]})"
88       by (rule paths_Card_above) simp
89     also have "\<dots> = pathsCard (paths (single x))" by simp
90     also have "single x \<sqsubseteq> (Fexp (Var x)\<cdot>a)" by (rule Fexp_Var)
91     also have "\<dots> \<sqsubseteq> Fexp (Var x)\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S" by (rule both_above_arg1)
92     also have "\<dots> \<sqsubseteq> substitute  (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp (Var x)\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S)" by (rule substitute_above_arg)
93     also have "pathsCard (paths \<dots>) x =  prognosis ae a (\<Gamma>, Var x, S) x" by simp
94     finally
95     show "once \<sqsubseteq> prognosis ae a (\<Gamma>, Var x, S) x"
96       by this (rule cont2cont_fun, intro cont2cont)+
97   qed
98
99   sublocale CardinalityPrognosisApp prognosis
100   proof default
101     fix ae a \<Gamma> e x S
102     have "Fexp e\<cdot>(inc\<cdot>a)  \<otimes>\<otimes> many_calls x \<otimes>\<otimes> Fstack S = many_calls x  \<otimes>\<otimes> (Fexp e)\<cdot>(inc\<cdot>a) \<otimes>\<otimes> Fstack S"
103       by (metis both_assoc both_comm)
104     thus "prognosis ae (inc\<cdot>a) (\<Gamma>, e, Arg x # S) \<sqsubseteq> prognosis ae a (\<Gamma>, App e x, S)"
105       by simp (intro pathsCard_mono' paths_mono substitute_mono2' both_mono1' Fexp_App)
106   qed
107
108   sublocale CardinalityPrognosisLam prognosis
109   proof default
110     fix ae a \<Gamma> e y x S
111     have "Fexp e[y::=x]\<cdot>(pred\<cdot>a) \<sqsubseteq> many_calls x  \<otimes>\<otimes> Fexp (Lam [y]. e)\<cdot>a"
112       by (rule below_trans[OF Fexp_subst both_mono2'[OF Fexp_Lam]])
113     moreover have "Fexp (Lam [y]. e)\<cdot>a \<otimes>\<otimes> many_calls x \<otimes>\<otimes> Fstack S = many_calls x  \<otimes>\<otimes> Fexp (Lam [y]. e)\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S"
114       by (metis both_assoc both_comm)
115     ultimately  
116     show "prognosis ae (pred\<cdot>a) (\<Gamma>, e[y::=x], S) \<sqsubseteq> prognosis ae a (\<Gamma>, Lam [y]. e, Arg x # S)"
117       by simp (intro pathsCard_mono' paths_mono substitute_mono2' both_mono1')
118   qed
119
120   sublocale CardinalityPrognosisVar prognosis
121   proof default
122     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and x :: var and ae :: AEnv and u a S
123     assume "map_of \<Gamma> x = Some e"
124     assume "ae x = up\<cdot>u"
125
126     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u \<otimes>\<otimes> Fstack S))) = pathsCard (paths (nxt (and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S))) x))"
127       by simp
128     also
129     have "\<dots> \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S)))))"
130       by (rule pathsCard_paths_nxt)
131     also
132     have "\<dots> = record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> Fexp e\<cdot>u)))))"
133       by (metis both_comm)
134     also
135     have "\<dots> = record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)))))"
136       using `map_of \<Gamma> x = Some e` `ae x = up\<cdot>u` by (simp add: Fexp.AnalBinds_lookup)
137     also
138     assume "isVal e"
139     hence "x \<notin> thunks \<Gamma>" using `map_of \<Gamma> x = Some e` by (metis thunksE)
140     hence "FBinds \<Gamma>\<cdot>ae = f_nxt (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) x" by (auto simp add: f_nxt_def)
141     hence "and_then x (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)) = substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (and_then x (Fstack S))"
142       by (simp add: substitute_and_then)
143     also
144     have "and_then x (Fstack S) \<sqsubseteq> FTree.single x \<otimes>\<otimes> Fstack S" by (rule and_then_both_single')
145     note pathsCard_mono'[OF paths_mono[OF substitute_mono2'[OF this]]]
146     also
147     have "FTree.single x \<sqsubseteq> Fexp (Var x)\<cdot>a" by (rule Fexp_Var)
148     note pathsCard_mono'[OF paths_mono[OF substitute_mono2'[OF both_mono1'[OF this]]]]
149     finally
150     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S))) \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp (Var x)\<cdot>a  \<otimes>\<otimes> Fstack S))))" 
151       by this simp_all
152     thus "prognosis ae u (\<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(prognosis ae a (\<Gamma>, Var x, S))" by simp
153   next
154     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and x :: var and ae :: AEnv and u a S
155     assume "map_of \<Gamma> x = Some e"
156     assume "ae x = up\<cdot>u"
157     assume "\<not> isVal e"
158     hence "x \<in> thunks \<Gamma>" using `map_of \<Gamma> x = Some e` by (metis thunksI)
159     hence [simp]: "f_nxt (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) x = FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae" 
160       by (auto simp add: f_nxt_def Fexp.AnalBinds_delete_to_fun_upd empty_is_bottom)
161
162     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks (delete x \<Gamma>)) (Fexp e\<cdot>u \<otimes>\<otimes> Fstack S)))
163        =  pathsCard (paths (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u \<otimes>\<otimes> Fstack S)))"
164        by (rule arg_cong[OF substitute_cong_T]) (auto simp add: empty_is_bottom)
165     also have "\<dots>  = pathsCard (paths (nxt (and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S))) x))"
166       by simp
167     also
168     have "\<dots> \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S)))))"
169       by (rule pathsCard_paths_nxt)
170     also
171     have "\<dots> = record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> Fexp e\<cdot>u)))))"
172       by (metis both_comm)
173     also
174     have "\<dots> = record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S  \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)))))"
175       using `map_of \<Gamma> x = Some e` `ae x = up\<cdot>u` by (simp add: Fexp.AnalBinds_lookup)
176     also
177     have "and_then x (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fstack S \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)) = substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (and_then x (Fstack S))"
178       by (simp add: substitute_and_then)
179     also
180     have "and_then x (Fstack S) \<sqsubseteq> FTree.single x \<otimes>\<otimes> Fstack S" by (rule and_then_both_single')
181     note pathsCard_mono'[OF paths_mono[OF substitute_mono2'[OF this]]]
182     also
183     have "FTree.single x \<sqsubseteq> Fexp (Var x)\<cdot>a" by (rule Fexp_Var)
184     note pathsCard_mono'[OF paths_mono[OF substitute_mono2'[OF both_mono1'[OF this]]]]
185     finally
186     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds (delete x \<Gamma>)\<cdot>ae) (thunks (delete x \<Gamma>)) (Fexp e\<cdot>u  \<otimes>\<otimes> Fstack S)))
187        \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (Fexp (Var x)\<cdot>a  \<otimes>\<otimes> Fstack S))))" 
188       by this simp_all
189     thus "prognosis ae u (delete x \<Gamma>, e, Upd x # S) \<sqsubseteq> record_call x\<cdot>(prognosis ae a (\<Gamma>, Var x, S))" by simp
190   next
191     fix \<Gamma> :: heap and e :: exp and ae :: AEnv and  x :: var and  S
192     assume "isVal e"
193     hence "repeatable (Fexp e\<cdot>0)" by (rule Fun_repeatable)
194
195     assume [simp]: "x \<notin> domA \<Gamma>"
196
197     have [simp]: "thunks ((x, e) # \<Gamma>) = thunks \<Gamma>" 
198       using `isVal e`
199       by (auto simp add: thunks_Cons dest: set_mp[OF thunks_domA])
200
201     have "fup\<cdot>(Fexp e)\<cdot>(ae x) \<sqsubseteq> Fexp e\<cdot>0" by (metis fup2 monofun_cfun_arg up_zero_top)
202     hence "substitute ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae)(x := fup\<cdot>(Fexp e)\<cdot>(ae x))) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>0 \<otimes>\<otimes> Fstack S) \<sqsubseteq> substitute ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae)(x := Fexp e\<cdot>0)) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>0 \<otimes>\<otimes> Fstack S)"
203       by (intro substitute_mono1' fun_upd_mono below_refl)
204     also have "\<dots> = substitute (((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae)(x := Fexp e\<cdot>0))(x := empty)) (thunks \<Gamma>) (Fexp e\<cdot>0 \<otimes>\<otimes> Fstack S)"
205       using `repeatable (Fexp e\<cdot>0)` by (rule substitute_remove_anyways, simp)
206     also have "((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae)(x := Fexp e\<cdot>0))(x := empty) = FBinds \<Gamma>\<cdot>ae"
207       by (simp add: fun_upd_idem Fexp.AnalBinds_not_there empty_is_bottom)
208     finally
209     show "prognosis ae 0 ((x, e) # \<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> prognosis ae 0 (\<Gamma>, e, Upd x # S)"
210       by (simp, intro pathsCard_mono' paths_mono)
211   qed
212 end
213
214 context FTreeAnalysisCardinalityHeap
215 begin
216
217   definition cHeap where
218     "cHeap \<Gamma> e = (\<Lambda> a. pathsCard (paths (Fheap \<Gamma> e\<cdot>a)))"
219
220   lemma cHeap_simp: "(cHeap \<Gamma> e)\<cdot>a = pathsCard (paths (Fheap \<Gamma> e\<cdot>a))"
221     unfolding cHeap_def  by (rule beta_cfun) (intro cont2cont)
222   
223   sublocale CardinalityHeap cHeap.
224  
225   sublocale CardinalityHeapCorrect cHeap Aheap
226   proof
227     fix x \<Gamma> e a
228     assume "x \<in> thunks \<Gamma>"
229     moreover
230     assume "many \<sqsubseteq> (cHeap \<Gamma> e\<cdot>a) x"
231     hence "many \<sqsubseteq> pathsCard (paths (Fheap \<Gamma> e \<cdot>a)) x" unfolding cHeap_def by simp
232     hence "\<exists>p\<in> (paths (Fheap \<Gamma> e\<cdot>a)). \<not> (one_call_in_path x p)" unfolding pathsCard_def
233       by (auto split: if_splits)
234     ultimately
235     show "(Aheap \<Gamma> e\<cdot>a) x = up\<cdot>0"
236       by (metis Fheap_thunk)
237   next
238     fix \<Gamma> e a
239     show "edom (cHeap \<Gamma> e\<cdot>a) = edom (Aheap \<Gamma> e\<cdot>a)"
240     by (simp add: cHeap_def Union_paths_carrier carrier_Fheap)
241   qed
242
243   sublocale CardinalityPrognosisEdom prognosis 
244   proof
245     fix ae a \<Gamma> e S
246     show "edom (prognosis ae a (\<Gamma>, e, S)) \<subseteq> fv \<Gamma> \<union> fv e \<union> fv S"
247       apply (simp add: Union_paths_carrier)
248       apply (rule carrier_substitute_below)
249       apply (auto simp add: carrier_Fexp dest: set_mp[OF Aexp_edom] set_mp[OF ap_fv_subset] set_mp[OF carrier_FBinds])
250       done
251   qed
252   
253   sublocale CardinalityPrognosisLet prognosis cHeap
254   proof
255     fix \<Delta> \<Gamma> :: heap and e :: exp and S :: stack and  ae :: AEnv and a :: Arity
256     assume "atom ` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>"
257     assume "atom ` domA \<Delta> \<sharp>* S"
258     assume "edom ae \<subseteq> domA \<Gamma> \<union> upds S"
259
260     have "domA \<Delta> \<inter> edom ae = {}"
261       using fresh_distinct[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`] fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* S`] 
262             `edom ae \<subseteq> domA \<Gamma> \<union> upds S` ups_fv_subset[of S]
263       by auto
264
265     have const_on1:  "\<And> x. const_on (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (carrier ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x)) empty"
266       unfolding const_on_edom_disj using fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`]
267       by (auto dest!: set_mp[OF carrier_FBinds] set_mp[OF Fexp.edom_AnalBinds])
268     have const_on2:  "const_on (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (carrier (Fstack S)) empty"
269       unfolding const_on_edom_disj using fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* S`]
270       by (auto dest!: set_mp[OF carrier_FBinds] set_mp[OF Fexp.edom_AnalBinds] set_mp[OF ap_fv_subset ])
271     have  const_on3: "const_on (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (- (- domA \<Delta>)) FTree.empty"
272       and const_on4: "const_on (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (domA \<Gamma>) FTree.empty"
273       unfolding const_on_edom_disj using fresh_distinct[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`]
274       by (auto dest!:  set_mp[OF Fexp.edom_AnalBinds])
275
276     have disj1: "\<And> x. carrier ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x) \<inter> domA \<Delta> = {}"
277       using fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`]
278       by (auto dest: set_mp[OF carrier_FBinds])
279     hence disj1': "\<And> x. carrier ((FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x) \<subseteq> - domA \<Delta>" by auto
280     have disj2: "\<And> x. carrier (Fstack S) \<inter> domA \<Delta> = {}"
281       using fresh_distinct_fv[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* S`] ap_fv_subset[of S] by auto
282     hence disj2': "carrier (Fstack S) \<subseteq> - domA \<Delta>" by auto
283     
284
285     {
286     fix x
287     have "(FBinds (\<Delta> @ \<Gamma>)\<cdot>(ae \<squnion> Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) x = (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) x \<otimes>\<otimes> (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) x"
288     proof (cases "x \<in> domA \<Delta>")
289       case True
290       have "map_of \<Gamma> x = None" using True fresh_distinct[OF `atom \` domA \<Delta> \<sharp>* \<Gamma>`] by (metis disjoint_iff_not_equal domA_def map_of_eq_None_iff)
291       moreover
292       have "ae x = \<bottom>" using True `domA \<Delta> \<inter> edom ae = {}` by auto
293       ultimately
294       show ?thesis using True 
295           by (auto simp add: Fexp.AnalBinds_lookup empty_is_bottom[symmetric] cong: option.case_cong)
296     next
297       case False
298       have "map_of \<Delta> x = None" using False by (metis domA_def map_of_eq_None_iff)
299       moreover
300       have "(Aheap \<Delta> e\<cdot>a) x = \<bottom>" using False using edom_Aheap by (metis contra_subsetD edomIff)
301       ultimately
302       show ?thesis using False
303          by (auto simp add: Fexp.AnalBinds_lookup empty_is_bottom[symmetric] cong: option.case_cong)
304     qed
305     }
306     note FBinds = ext[OF this]
307
308     {
309     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds (\<Delta> @ \<Gamma>)\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a \<squnion> ae)) (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>)) (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S)))
310       = pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>)) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a))  (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>))  (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S))))"
311        by (simp add: substitute_substitute[OF const_on1] FBinds)
312     also have "substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>)) = substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>)"
313       apply (rule substitute_cong_T)
314       using const_on3
315       by (auto dest: set_mp[OF thunks_domA])
316     also have "substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks (\<Delta> @ \<Gamma>)) = substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>)"
317       apply (rule substitute_cong_T)
318       using const_on4
319       by (auto dest: set_mp[OF thunks_domA])
320     also have "substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a \<otimes>\<otimes> Fstack S) = substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a) \<otimes>\<otimes> Fstack S" 
321       by (rule substitute_only_empty_both[OF const_on2])
322     also note calculation
323     }
324     note eq_imp_below[OF this]
325     also
326     note env_restr_split[where S = "domA \<Delta>"]
327     also
328     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a) \<otimes>\<otimes> Fstack S))) f|` domA \<Delta> 
329         = pathsCard (paths (ftree_restr (domA \<Delta>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a))))"
330           by (simp add: filter_paths_conv_free_restr ftree_restr_both ftree_rest_substitute[OF disj1]  ftree_restr_is_empty[OF disj2])
331     also
332     have "ftree_restr (domA \<Delta>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a)) \<sqsubseteq> Fheap \<Delta> e\<cdot>a"  by (rule Fheap_substitute)
333     also
334     have "pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a) \<otimes>\<otimes> Fstack S))) f|` (- domA \<Delta>) =
335           pathsCard (paths (substitute (FBinds \<Gamma>\<cdot>ae) (thunks \<Gamma>) (ftree_restr (- domA \<Delta>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a)) (thunks \<Delta>) (Fexp e\<cdot>a)) \<otimes>\<otimes> Fstack S)))"
336           by (simp add: filter_paths_conv_free_restr2 ftree_rest_substitute2[OF disj1' const_on3] ftree_restr_both  ftree_restr_noop[OF disj2'])
337     also have "ftree_restr (- domA \<Delta>) (substitute (FBinds \<Delta>\<cdot>(Aheap \<Delta> e\<cdot>a))  (thunks \<Delta>)  (Fexp e\<cdot>a)) \<sqsubseteq> Fexp (Terms.Let \<Delta> e)\<cdot>a" by (rule Fexp_Let)
338     finally
339     show "prognosis (Aheap \<Delta> e\<cdot>a \<squnion> ae) a (\<Delta> @ \<Gamma>, e, S) \<sqsubseteq> cHeap \<Delta> e\<cdot>a \<squnion> prognosis ae a (\<Gamma>, Terms.Let \<Delta> e, S)"
340       by (simp add: cHeap_def del: fun_meet_simp) 
341   qed
342
343   sublocale CardinalityPrognosisCorrect prognosis cHeap Aheap Aexp by default
344 end
345
346
347 end